变量类型：
连续型变量 如：指数分布、正态分布离散型变量 如：二项分布、泊松分布三者之间的关系
二项分布(Binomial distribution)
二项分布(Binomial distribution)是n重伯努利试验成功次数的离散概率分布，记作。伯努利试验是只有两种可能结果的单次随机试验。
伯努利试验都可以表达为“是或否”的问题。例如，抛一次硬币是正面向上吗？刚出生的小孩是个女孩吗？等等
如果试验E是一个伯努利试验，将E独立重复地进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验。进行一次伯努利试验，成功(X=1)概率为p(0<=p<=1)，失败(X=0)概率为1-p，则称随机变量X服从伯努利分布。伯努利分布是离散型概率分布，伯努利分布(Bernoulli distribution)又名两点分布或0-1分布。二项分布的三个特点：
每次实验结果，只能是两个互斥的结果之一。各次实验独立，各次的实验结果互不影响。。相同的实验条件下，每次实验中事件A的发生具有相同的概率。二项分布的概率函数可用公式
其中，
对于任何二项分布，总有
例1.如果某地钩虫感染率为13%，随机观察当地150人，其中恰好有10人感染钩虫的概率有多大？
分析：
（1）钩虫感染只有两个互斥的结果，即感染与非感染；
（2）每个人被钩虫感染的概率相同；
（3）人与人之间钩虫感染可假设为相互独立的，所以感染钩虫的人数 X 可认为服从 n = 150，π = 0.13的二项分布。
二项分布的特征
是二项分布的两个参数，所以二项分布的形状取决于(阳性率）。当 =0.5时分布对称，近似对称分布。当 ≠0.5时，分布呈偏态，特别是 较小时， 偏离0.5越远，分布的对称性越差，但只要不接近1和0时，随着的增大，分布逐渐逼近正态。当或 不太小，而 足够大，通常 和 均大于或等于5，我们常用正态近似的原理来处理二项分布的问题。二项分布的正态近似
根据中心极限定理，在较大，与 均大于或等于5时，二项分布接近与正态分布。当 无穷大时，二项分布B()的极限分布是总体均数为，总体标准差为的正态分布，此时可用该正态分布进行估计。二项分布的均数和标准差
对于任何一个二项分布，如果每次试验出现“阳性” 结果的概率均为，则在 次独立重复实验中:
1、出现 X 次阳性结果
总体均数（出现阳性结果的次数X的均值）：
标准差（出现阳性结果的次数X的标准差）：
2、阳性结果的频率记做为
的总体均数（出现阳性结果频率的均值）：
标准差（出现阳性结果频率的标准差）：
是频率P的标准误，反映阳性频率的抽样误差的大小。
泊松分布(Poisson distribution)
泊松分布是二项分布在阳性率特别小时的一种情形，用于描述单位时间、空间、面积等的罕见事件发生次数的概率分布，如：
每毫升水中的大肠杆菌数单位时间(如1分钟)内放射性质点数每1000个新生儿中某出生缺陷、多胞胎、染色体异常等事件出现的例数泊松分布的三个特点：
泊松分布是二项分布当中的一种特殊情况，则泊松分布也遵循二项分布的三个特点：
观察结果相互独立每次试验只有两个结果发生的概率不变如，人群中传染性疾病首例出现后便成为传染源，会增加后续病例出现的概率，因此病例数的分布不能看作是Poisson分布。
又如，污染的牛奶中细菌成集落存在，单位容量牛奶中细菌数不能认为服从Poisson分布。
泊松分布分布一般记作，其概率函数为:
式中，为Poisson分布的总体均数(表示概率)； 为观察单位内某稀有事件的发生次数； 为自然对数的底，为常数，约等于2.71828，自然对数的底数e是由一个重要极限给出的：当趋于无限时，。
泊松定理（泊松分布是二项分布当中的一种特殊情况）
设随机变量服从二项分布，即。其中，是与有关的数，且设是常数，则有，
证明：依题设有，代入中，有
对于固定的，有
（根据）
所以，
可见，二项分布的极限分布是泊松分布，当n很大，很小时，可用近似代替，一般时，可采用上次近似公式代替。
泊松分布的特征
随着的增大，Poisson分布逐渐趋于对称分布。当>20时，Poisson分布可视为近似正态分布。下图表示出了对泊松分布的影响，表示泊松分布的均值。当变大时，不仅整个分布模式向右移动，数据也更加分散，方差随之变大。
泊松分布的特性
总体均数与总体方差相等：均为 。可加性：从总体均数分别为1 和2 的两个Poisson分布总体中各自随机抽出一份样本，其中稀有事件的发生次数分别为 和 ，则合计发生数也服从Poisson分布，总体均数为1 +2 。可加性的运用：分5次，每次都是监测5毫升的水样，得到的都比20小，但是5次相加的之后形成的比20大的话，我们就可以10毫升水样当中的细菌数的分布用正态近似法了
例：某放射性物质半小时内发出的脉冲数服从Poisson分布，平均为 360个，试估计该放射性物质半小时内发出的脉冲数大于400个的概率。
其中，0.5表示连续型校正，表示处理离散型变量，应用到连续型的正态分布的时候，效果更佳的一种修正。
注意：泊松分布不具备可乘性。
指数分布
设随机变量X的分布密度函数为
其中为常数，我们称服从参数为的指数分布，记作，其相应的分布函数为
和的图形见下图。
指数分布的特性
总体均数，总体方差。指数分布通常用作各种“寿命”的分布。例如，无线电元件的寿命，动物的寿命等，另外电话问题的通话时间、随机服务系统中的服务时间等都可以认为服从指数分布，因此，它在排队论和可靠性理论等领域中有广泛的应用。
例、某电子元件的使用寿命X是一个连续型随机变量，其概率密度为
(1)确定常数k
(2)求寿命超过100小时的概率
(3)已知该元件已经正常使用200小时，求它至少还能正常使用100小时的概率。
解：
(1)由概率密度函数性质2知
，得。
(2)寿命超过100小时的概率为
(3)条件概率
由(2),(3)可知，该元件寿命超过100小时的概率等于已使用200小时的条件下至少还能使用100小时的概率，这个性质称为指数分布的“无记忆性”。
若随机变量X对任意的都有，则称X的分布具有无记忆性。
因此，指数分布具有无记忆性，若某元件或动物的寿命服从指数分布，则上式表明，如果已知寿命长于s年，则再“活”t年的概率与s无关，即对过去的s时间没有记忆，也就是说只要在某时刻s仍“活”着，它的剩余寿命的分布和原来的寿命分布相同，所以人们也戏称指数分布是“永远年轻的”。
正态分布(Normal distribution)
正态分布的概率密度函数（即纵向的曲线高度）
，
规定了曲线的形状，反应了其在横轴上的位置不同。
正态分布的特征
关于对称，即正态分布以均数为中心，左右对称。在处取得概率密度函数的最大值，在处有拐点，表现为 钟形曲线。即正态曲线在横轴上方均数处最高。正态分布有两个参数，即均数和标准差。是位置参数，是变异度参数（形状参数）。常用表示均数为，标准差为的正态分布；用表示标准正态分布。正态曲线下面积分布有一定规律。横轴上正态曲线下的面积等于1（也常写作100%）。正态方程的积分式（概率分布函数）:
概率分布函数即为正态概率密度曲线下的面积 。
为正态变量的累计分布函数，反映正态曲线下，横轴尺度自到的面积，即下侧累计面积。
标准正态分布
均数为0，标准差为1的正态分布，这种正态分布称为标准正态分布。
对于任意一个服从正态分布的随机变量，可作如下的标准化变换，也称(z-score)变换：
其中，，标准正态分布的概率密度函数：
标准正态分布方程积分式(概率分布函数)：
为标准正态变量的累计分布函数，反映标准正态曲线下，横轴尺度自到的面积，即下侧累计面积，如下图所示。
标准正态分布表
用查表代替计算必须注意：
表中曲线下面积为到的面积。当,和已知时，先求出值， ，再用Z值查表，得所求区间占总面积的比例。当和未知时，要用样本均数和样本标准差来估计值，。曲线下对称于0的区间，面积相等。 曲线下横轴上的面积为1 （即100% ）。正态分布是一种对称分布，其对称轴为直线，即均数位置。
理论上：
范围内曲线下的面积占总面积的68.27%范围内曲线下的面积占总面积的95%范围内曲线下的面积占总面积的99% 实际上：
范围内曲线下的面积占总面积的68.27%范围内曲线下的面积占总面积的95%范围内曲线下的面积占总面积的99% 实际应用中，我们一般将1.96看似成2，2.58看似成3。
标准正态分布的=0，=1，则
相当于区间(1，1)相当于区间(1.96，1.96)相当于区间(2.58，2.58)区间(1,1)的面积：=1-2×0.1587=0.6826=68.26% 区间(1.96,1.96)的面积：=1-2×0.0250=0.9500=95.00%区间(2.58,2.58)的面积：=1-2×0.0049=0.9902=99.02% 例: 已知某地1986年120名8岁男童身高均数 ，，估计(1)该地8岁男孩身高在130以上者占该地8岁男孩总数的百分比；(2)身高界于120~128者占该地8岁男孩总数的比例；(3)该地80%男孩身高集中在哪个范围？
(1)先做标准化转换:
根据标准正态分布的对称性
理论上该地8岁男孩身高在130 以上者占该地8岁男孩总数的7.21%。
(2)
(3)
查标准正态分布界值表，标准正态分布曲线下左侧面积为0.10所对应的值为1.28，所以80%的8岁男孩身高值集中在区间内，即116.9~129.2。
正态分布的应用
制定参考值范围的步骤：
选择足够数量的正常人作为调查对象。样本含量足够大。确定取单侧还是取双侧正常值范围。有些指标过高过低都是异常的，我们需要制定双侧的正常值范围
有些指标过低才是异常的，比如肺活量，我们只要制定单侧的正常值范围
选择适当的百分界限。在实际操作当中，我们一般将正常人中的5%排除在外，计算95%参考值范围。
选择适当的计算方法。
正态近似法：适用于正态分布或近似正态分布的资料。
例1 某地调查120名健康女性血红蛋白，直方图显示，其分布近似于正态分布，得均数为117.4g/L，标准差为10.2g/L ，试估计该地正常女性血红蛋白的95%医学参考值范围。
分析：正常人的血红蛋白过高过低均为异常，要制定双侧正常值范围。
该指标的95%医学参考值范围为97.41~137.39（g/L）
百分位数法：适用于偏态分布资料。
例2 某年某市调查了200例正常成人血铅含量（μg/100g) 如下，试估计该市成人血铅含量的95%医学参考值范围。
分析：血铅的分布为偏峰分布，且血铅含量只以过高为异常，要用百分位数法制定单侧上限。